مادرش، نانسی رایت، دستیار یک وکیل دادگستری بود و پدرش، جوئل داگلاس درایور، که داری اجدادی با ریشهٔ هلندی، آلمانی، ایرلندی و انگلیسی بود، کشیش بود. پدر و مادر آدام در همان دوران کودکی وی از یکدیگر جدا شدند و مادرش بعد از جدایی بار دیگر ازدواج کرد و این مرتبه با یک سرپرست عضو كليساى پروتستان. آدام در هفت سالگی به‌ همراه مادر و خواهر بزرگترش راهی ‌شهر میشواکا ایالت ایندیانا شد و در سال 2001 از دبیرستان میشواکا فارغ‌التحصیل شد. آدام چندین سال بعد از این دوران در مصاحبه‌ای با مجلهٔ M Magazine، شخصیت کودکی خود را چنین توصیف کرد که وصله‌ای ناجور در خانواده بوده است و همیشه کارهای عجیب و غریبی انجام می‌داده؛ از بالا رفتن از برج‌های رادیویی گرفته تا آتش‌ زدن هرچه دم دستش بوده و البته جالب‌تر از همه تأسیس باشگاهی مشت‌زنی به‌ همراه دوستانش با الهام از فیلم معروف «باشگاه مبارزه» دیوید فیچر بود که در سال 1999 روی پردهٔ سینما رفت و آدام در آن زمان 16 سال داشت.

آدام درایور پس از حملات تروریستی 11 سپتامبر سال 2011، تصمیم می‌گیرد به‌ عضویت نیروی دریایی دربیاید؛ البته وی پیش‌تر علاقمند بود در مؤسسه هنری جولیارد شهر نیویورک نام‌نویسی کند که این کار را کرد، اما از سوی این مؤسسه رد و پس از آن بود که دو سال و هشت ماه را در نیروی دریایی گذراند. دوران حضور وی در نیروی دریایی کمتر از سه سال بود و به‌ علت شکستگی جناغ سینه بر اثر افتادن از دوچرخه در کوهستان و مشکلات پزشکی پیش‌ آمده برای وی پیرو این اتفاق، به‌ صورت افتخاری از نیروی دریایی فارغ‌التحصیل شد و این تصمیم کاملاً در آیندهٔ وی تأثیرگذار بود. آدام این مرتبه در دانشگاه ایندیاناپولیس نام‌نویسی کرد و با وجود قبولی در این دانشگاه، یک سال بعد و بار دیگر در مؤسسه هنری جولیارد نام‌نویسی کرد که این بار رد نشد و نتیجهٔ پافشاری و پشتکار خود را گرفت. درایور از آن دوران چنین یاد می‌کند که همکلاسی‌هایش او را فردی زورگو می‌خواندند که شخصیتی بسیار ناپایدار دارد. او در مجموع برای خو گرفتن با آن فضا، با توجه‌ به‌ دورانی که در نیروی دریایی گذرانده بود، کار سختی داشت و همکلاسی‌ها چندان با او گرم نمی‌گرفتند. در همان دوران وی عضو انجمنی با نام «گروه 38» شد و در همان انجمن هنری با جوآن تاکر آشنا شد و این آشنایی به‌ ازدواج ختم شد. آدام درایور و جوآن تاکر بعدها مؤسسه‌ Arts in the Armed Forces را راه اندازی کردند که این مؤسسه بدون دریافت هیچ مبلغی از نیروهای ارتشی، نمایش‌های مختلفی را برای آنها به‌ اجرا می‌گذارد.

آدام پس از فارغ‌التحصیلی از مؤسسه هنری جولیارد، در سال 2009 اولین نقش خود را در سریال کمدی و درام «غیرعادی‌ها» به کارگردانی نوآ هاولی ایفا کرد. وی مدتی بعد برای ایفای نقش رابی ویکری در سریال «نظم و قانون» به کارگردانی دیک وولف انتخاب شد و همچون اولین تجربه بازیگری خود، در این سریال نیز تنها در یک قسمت ایفای نقش کرد. او در سال 2010 در فیلم تلویزیونی «تو جک را نمی‌شناسی»، همبازی آل پاچینو افسانه‌ای شد؛ فیلمی که کارگردانی آن را بری لوینسون بر عهده داشت و بسیار مورد استقبال منتقدان و تماشاگران قرار گرفت. آدام درایور در این‌ میان در چند تئاتر نیز ایفای نقش کرد که معروف‌ترین اجرای وی مربوط‌به‌نمایش «کسب‌وکار میسیز وارن» جورج برنارد شاو می‌شود که در این نمایش نقش شخصیت فرانک گاردنر را بر عهده داشت. اما در سال 2011 بود که آدام وارد مرحلهٔ جدیدی از حرفهٔ بازیگری شد. در این سال وی به‌ تیم بازیگران سریال «دختران» شبکه HBO پیوست و نقش شخصیت آدام سکلر را در 49 قسمت این سریال کمدی و درام محبوب ایفا کرد و سه‌ مرتبه هم نامزد دریافت جایزهٔ اِمی‌ شد و همین نقش‌آفرینی نام وی را در هالیوود بر سر زبان‌ها انداخت و سیل پیشنهاد‌ها به‌ سوی او سرازیر شد.

بازی در سریال «دختران»، نقش به‌ سزایی در موقعیت کاری آدام درایور داشت و شهرتی که وی در این سریال به‌ دست آورد، باعث دیده‌ شدن وی در هالیوود شد و پس از  آن به‌ وی ایفای نقش در فیلم «لینکلن» استیون اسپیلبرگ پیشنهاد شد و درایور در این فیلم با دانیل دی-لوئیس همبازی شد و نقش شخصیت ساموئل بک‌ویت را ایفا کرد. البته درایور پیش از حضور در فیلم «لینکلن»، در سه فیلم سینمایی ایفای نقش کرد که معروف‌ترین فیلم در میان آن‌ها، فیلم «فرانسیس ها» ساخته نوآ بامباک بود. وی در سال 2012 در فیلم تحسین‌ شدهٔ «درون لوین دیویس» برادران کوئن، نقش شخصیت ال کادی را ایفا کرد. وی در این سالها پله‌های ترقی را پشت‌ سر هم و سریع طی می‌کرد و در سال 2014 در فیلم کمدی «اینجا شما را ترک می‌کنم» به کارگردانی شان لوی، نقش شخصیت فیلیپ آلتمن را ایفا کرد. یک سال بعد هم در اولین فیلم بلاک‌باستری کارنامهٔ کاری خود نقش شخصیت کایلو رن/بن سولو را ایفا کرد؛ وی در فیلم «جنگ ستارگان: نیرو برمی‌خیزد» جی. جی. آبرامز خوش درخشید و نشان داد تجربهٔ حضور در تئاتر و البته بعدتر حضور در فیلم‌های کارگردانان مطرح، به‌ خوبی وی را برای ایفای نقش‌های این چنینی که تحسین و انتقاد عامهٔ مردم را به‌همراه خواهد داشت، آماده کرده است. وی در این فیلم که فروش بیش از 2 میلیارد دلاری در گیشه داشت.

حضور درایور در فیلم تحسین شده مارتین اسکورسیزی به نام «سکوت» و پس از آن «داستان ازدواج» نوآ بامباک که یکی از نقش های اصلی این فیلم ها را عهده دار بود، سبب شد تا درایور نام خود را به عنوان بازیگری مستعد مطرح نماید.