پدرش اندرو پرایس جکمنِ آهنگساز و عضو گروه موسیقی «The Syn» است. عمویش گرگ جکمن هم مهندس صدا و تهیه کننده است که سابقه همکاری با گروه موسیقی «کینگز سینگرز» و  بارکلی جیمز هاروِست را دارد. پدربزگش بیل حکمن نیز نوازنده کلارینت بود که سابقه همکاری با «بیتلز» در دو آلبوم شان؛ «وقتی شصت و چهار ساله هستم» (1966) و «گروه کلوپ بی‌کسان گروهبان فلفل» (1967) در کارنامه دارد.

هِنری موسیقی کلاسیک را در مدرسه کلیسای جامع سنت پاول، کالج فراملینگهام، کالج ایتون و دانشگاه آکسفورد آموخت. جکمن با انجام کار برنامه نویسی و تولید موسیقی در کنار هنرمندانی چون مایک اولدفیلد (در آلبوم «وویجر»؛ 1996)، سالی اولدفیلد (در آلبوم «ستاره شعله ور»؛ 1992)، ترِوُر هورن/Art of Noise (آلبوم «اغوای کلود دبوسی»؛ 1999)، التون جان و گری بارلو کسب تجربه کرد. او همچنین تهیه کنندگی آلبوم منتشر نشده ی "سیل" به نام «Togetherland» را در سال 2001 بر عهده داشت. ساخت و تنظیم ترانه «این می تواند بهشت باشد» با اجرای و صدای "سیل" یکی دیگر از کارهای جکمن بود که در فیلم «مرد خانواده» (2000) از سوی آهنگساز فیلم دنی الفمن مورد استفاده قرار گرفت.

جکمن از سال 2000 کار ساخت موسیقی برای فیلم های مستقل و بعضا غیرحرفه ای را آغاز کرد و بعدها به عنوان تنظیم کننده با هانس زیمر همکاری داشت تا در نهایت با ساخت موسیقی انیمیشن «هیولاها در برابر بیگانگان» (2009) اولین موسیقی متن خود را ساخت.